Les lois de probabilité continues
Pour aller plus loin (Ancien programme) - Mathématiques Spécialité
Exercice 1 : Fonction de densité de probabilité (polynôme)
Soit une fonction \(f\), définie sur \(\left[-2; -1\right]\) une fonction de densité de probabilité telle que:
\[ f: x \mapsto \dfrac{7}{127}x^{6}\]
Calculer la probabilité que X prenne ses valeurs dans \(\left[- \dfrac{3}{2}; -1\right]\)
On arrondira le résultat à \(10^{-4}\).
On arrondira le résultat à \(10^{-4}\).
Exercice 2 : Probabilité loi normale : calculs divers en utilisant un graphique
Après réalisation d'une enquête, on estime que le temps en minutes, consacré
quotidiennement par un élève à faire ses devoirs scolaires, est une variable
aléatoire \(X\) suivant une loi normale d'espérance 55 minutes et d'écart-type
24 minutes.
L'allure de la courbe de densité de cette loi normale est représentée ci-dessous.
L'égalité \(P\left(X \le 25 \right) = 0,106 \) est illustrée graphiquement.
Dans tout l'exercice, on donnera des réponses à \(10^{-3}\) près.
Déterminer la probabilité qu'un élève consacre quotidiennement moins de 85 minutes à faire ses devoirs scolaires.
Déterminer la probabilité qu'un élève consacre quotidiennement plus de 55 minutes à faire ses devoirs scolaires.
Déterminer la probabilité qu'un élève consacre quotidiennement plus de 25 minutes à faire ses devoirs scolaires.
Exercice 3 : Fonction de densité de probabilité (exponentielle)
Soit une fonction \(f\), définie sur \(\left[-2; -1\right]\) une fonction de densité de probabilité telle que:
\[ f: x \mapsto \dfrac{8}{- e^{-16} + e^{-8}}e^{8x}\]
Calculer la probabilité que X prenne ses valeurs dans \(\left[-2; - \dfrac{3}{2}\right]\)
On arrondira le résultat à \(10^{-4}\).
On arrondira le résultat à \(10^{-4}\).
Exercice 4 : Probabilité loi normale - deux bornes
Soit \( X \) une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres \( \mu = -2 \) et \( \sigma = 5 \).
Donner une valeur arrondie à \( 10^{-4} \) près de la probabilité \( P( 0,7 \leq X \leq 2,7 ) \) notée \( p \).Exercice 5 : Calculs autour du paramètre d'une loi exponentielle
En 2014, le robot Philae s'est posé sur la comète Tchouri après plus de dix ans de voyage dans l'espace. Les scientifiques purent
ainsi pour la première fois étudier la composition d'une comète et ses propriétés.
Une telle expédition suppose une importante longévité du robot. Aussi les scientifiques ont conçu Philae de sorte à ce qu'il vive au moins 19 ans.
Des études préalables ont montré que la durée de vie \(p\) du robot suivait une loi exponentielle de paramètre srictement positif \(a\) : \[ p(x \leq t) = \int_{0}^{t} a \text{e}^{-a x} \text{d}x \] où \(p(x \leq t)\) donne la probabilité que Philae ait une panne au bout de \(t\) années. \(a\) est un paramètre qui décrit la qualité du robot.Quelle est la probabilité \(p(x \leq 19)\) qu'une panne survienne lors des 19 années prévues de la mission de Philae ? On attend une réponse sous forme exacte qui dépendra du paramètre de qualité \(a\).
Une telle expédition suppose une importante longévité du robot. Aussi les scientifiques ont conçu Philae de sorte à ce qu'il vive au moins 19 ans.
Des études préalables ont montré que la durée de vie \(p\) du robot suivait une loi exponentielle de paramètre srictement positif \(a\) : \[ p(x \leq t) = \int_{0}^{t} a \text{e}^{-a x} \text{d}x \] où \(p(x \leq t)\) donne la probabilité que Philae ait une panne au bout de \(t\) années. \(a\) est un paramètre qui décrit la qualité du robot.Quelle est la probabilité \(p(x \leq 19)\) qu'une panne survienne lors des 19 années prévues de la mission de Philae ? On attend une réponse sous forme exacte qui dépendra du paramètre de qualité \(a\).
À quel ensemble doit appartenir \(a\) si l'on souhaite réduire cette probabilité à au plus 0,005 ?
On attend le résultat sous la forme d'un intervalle : \(\left]0 ; l\right]\) avec \(l\) une valeur à déterminer.
Kwyk vous donne accès à plus de 8 000 exercices auto-corrigés en Mathématiques.
Nos exercices sont conformes aux programmes de l'Éducation Nationale de la 6e à la Terminale. Grâce à Kwyk, les élèves s'entraînent sur du calcul mental, des exercices d'arithmétique et de géométrie, des problèmes et des exercices d'application, des exercices d'algorithmique et de python, des annales du brevet des collèges et du baccalauréat. Nos exercices sont proposés sous forme de réponse libre et/ou de QCM.
Afin d'assurer un entraînement efficace et pertinent aux élèves, chaque exercice est généré avec des valeurs aléatoires. Les élèves peuvent s'entraîner grâce aux devoirs donnés sur Kwyk par leurs professeurs et aux devoirs générés par notre outil utilisant l'IA mais aussi grâce aux différents modules de travail en autonomie mis à disposition sur leur espace personnel. Pour les niveaux du collège, les élèves ont également accès à des cours constitués d'une partie théorique et d'une partie pratique.
Avec Kwyk, vous mettez toutes les chances du côté des élèves pour que les différents théorèmes, propriétés et définitions n'aient plus aucun secret pour eux.
En 2024, plus de 40 000 000 d'exercices ont été réalisés sur Kwyk en Mathématiques.
Nos exercices sont conformes aux programmes de l'Éducation Nationale de la 6e à la Terminale. Grâce à Kwyk, les élèves s'entraînent sur du calcul mental, des exercices d'arithmétique et de géométrie, des problèmes et des exercices d'application, des exercices d'algorithmique et de python, des annales du brevet des collèges et du baccalauréat. Nos exercices sont proposés sous forme de réponse libre et/ou de QCM.
Afin d'assurer un entraînement efficace et pertinent aux élèves, chaque exercice est généré avec des valeurs aléatoires. Les élèves peuvent s'entraîner grâce aux devoirs donnés sur Kwyk par leurs professeurs et aux devoirs générés par notre outil utilisant l'IA mais aussi grâce aux différents modules de travail en autonomie mis à disposition sur leur espace personnel. Pour les niveaux du collège, les élèves ont également accès à des cours constitués d'une partie théorique et d'une partie pratique.
Avec Kwyk, vous mettez toutes les chances du côté des élèves pour que les différents théorèmes, propriétés et définitions n'aient plus aucun secret pour eux.
En 2024, plus de 40 000 000 d'exercices ont été réalisés sur Kwyk en Mathématiques.
Exercices de Mathématiques : préparer les examens
Brevet des collèges | Baccalauréat
S'entraîner dans d'autres matières
Français | Physique-Chimie
Brevet des collèges | Baccalauréat
S'entraîner dans d'autres matières
Français | Physique-Chimie